Sistemas dinâmicos II: Expectativas racionais

Há muito tempo atrás eu escrevi sobre Álgebra Linear e sistemas dinâmicos. Lá, eu falava de um caso em que o sistema era $x_t = Ax_{t-1}$, onde $x_t$ era um vetor e $A$ tinha que ter autovalores menores que 1 em módulo para garantir a estabilidade do sistema. Apesar de ser um caso bem interessante, muitas vezes em economia nós temos que lidar com expectativas e assumimos expectativas racionais - que pode ser definida de várias maneiras, mas a mais intuitiva é pensar que agentes não cometem erros sistematicamente. Um caso “famoso” de expectativas racionais é a curva de Phillips novo keynesiana:

$$\pi_t = \beta E_t \pi_{t+1} + \kappa \tilde{y}_t$$

Onde $\pi$ é a inflação e $\tilde{y}_t$ é o hiato do produto.

Eu me perguntei durante muito tempo “como diabos você se livra dessa expectância?”. Com expectativas adaptativas, a resposta é bem simples: $E_t(\pi_{t+1}) = \pi_t$. Para entender como funciona o caso com expectativas racionais, vamos dar um passo para trás e relembrar o passo a passo da equação em diferenças linear sem expectativas.

Suponha que você tem uma única equação, linear, $x_t = \alpha x_{t-1}$. Podemos sempre iterar para trás e realizar substituição recursiva:

$$x_t = \alpha x_{t-1}\\ x_{t-1} = \alpha{}x_{t-2}\\ x_{t-2} = \alpha x_{t-3}\\ ...$$

E substitua a última na penúltima, …, a terceira na segunda e a segunda na primeira para obter:

$$x_t = \alpha^tx_0$$

Onde $x_0$ é uma condição inicial. Veja que se $|\alpha| > 1$, o sistema explode. Caso contrário, o processo colapsa para zero. Normalmente, em economia, nós imaginamos que existe um choque aleatório $\varepsilon_t$ e o sistema é $x_t = \alpha x_{t-1} + \varepsilon_t$. Isso é só um AR(1) usual e a representação recursiva funciona da mesma forma, mas agora com um termo extra:

$$x_t = \alpha^t x_0 + \sum_{j=0}^t \alpha^j \varepsilon_{t-j}$$

Até aqui, nada de extremamente novo: esse é o ferramental usual de equações em diferenças. Agora, considere que nós temos uma única equação que tem uma expectativa (que assumimos ser racional):

$$E_t(y_{t+1}) = \lambda y_t$$

Veja que se $y_t = y_{t+1} = 0$, a equação está no “estado estacionário”. Resscreva de maneira que $y_t$ esteja em evidência:

$$y_t = \frac{1}{\lambda}E_t(y_{t+1})$$

O truque aqui é ao invés de iterar para trás, nós iteramos para frente:

$$y_t = \frac{1}{\lambda}E_t(y_{t+1})\\ y_{t+1} = \frac{1}{\lambda}E_t(y_{t+2})\\ y_{t+2} = \frac{1}{\lambda}E_t(y_{t+3})\\ ...$$

Logo, substituição recursiva nos dá:

$$y_t = \frac{1}{\lambda^j}E_t(y_{t+j})$$

Se $|\frac{1}{\lambda}| < 1$, então quando $j \rightarrow \infty$, $y_t = 0$. Veja que $|\frac{1}{\lambda}| < 1$ é equivalente a $|\lambda| > 1$.

O caso mais interessante é quando temos uma variável a mais no sistema, $s_t$ - que pode ser determinística ou estocástica. Nossa equação se torna:

$$E_t(y_{t+1}) = \lambda y_t + s_t$$

(Veja que podíamos ter algum coeficiente na frente de $s_t$). Usando o mesmo truque que usamos acima, podemos reescrever isso:

$$y_t = \frac{1}{\lambda}(E_t(y_{t+1}) - s_t)$$

E iterando para frente:

$$y_t = \frac{1}{\lambda^j}E_t(y_{t+j}) - \sum_{k=0}^j \frac{1}{\lambda^k} E_t(s_{t+k})$$

Com $j \rightarrow \infty$, obtemos $y_t = -\sum_{k=0}^j \frac{1}{\lambda^k} E_t(s_{t+k})$.

Então para resolver equações em diferenças com expectativas, nós iteramos para frente e portanto exigimos que o coeficiente associado a $y_t$ seja maior que 1.

Em um sistema de equações lineares, isso se reflete de maneira bem simples: antes, para termos estabilidade, todos os autovalores deveriam ser menores que 1. Agora, quando tivermos expectâncias, precisamos de 1 autovalor maior do que 1 para cada equação que depender da expectância da variável (isso não é sem alguns caveats técnicos). Isso é conhecido como condições de Blanchard Khan. Verificar as condições de Blanchard Khan é basicamente um exercício de contar quantos autovalores são maiores que 1 e quantos são menores que 1 e quantas equações dependem de expectativas e quantas não dependem. Veja que, seguindo a notação acima, teremos que escrever o sistema para termos:

$$E_t(x_{t+1}) = Ax_t + \epsilon_t$$

E checarmos os autovalores da matriz A: precisamos de ter o mesmo número de autovalores maiores que 1 que equações que dependem de expectativas; e mesmo número de autovalores menores que um do que equações sem expectativas. Alguns autores usam a equação ao contrário e colocam $x_t$ do lado esquerdo e A acompanhando o vetor de expectativas. Nesse caso, as condições de Blanchard Khan se invertem.

bet = 0.99
sig = 1
phi = 1.5

B = rbind(c(bet,0,0),c(-1,1,1),c(0,0,1))
C = rbind(c(1,-1,0),c(0,-sig,0),c(phi,0,0))

A = qr.solve(B)%*%C
eigen(A)

## eigen() decomposition
## $values
## [1] -2.165909  1.165909  0.000000
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2] [,3]
## [1,] -0.2966180 -0.6109608    0
## [2,] -0.9326410  0.0942406    0
## [3,]  0.2054227 -0.7860316    1

bet = 0.99
sig = 1

phi_vals = seq(0,1.5, length.out = 100)
eigs_maior_que_um <- rep(0,length(phi_vals))

for(i in 1:length(phi_vals)){

  phi = phi_vals[i]

  B = rbind(c(bet,0,0),c(-1,1,1),c(0,0,1))
  C = rbind(c(1,-1,0),c(0,-sig,0),c(phi,0,0))

  A = qr.solve(B)%*%C
  eigg <- eigen(A)
  eigs_maior_que_um[i] <- sum(abs(eigg$values) > 1)
}

library(ggplot2)

dados <- data.frame("phi_vals" = phi_vals,"eigs" = eigs_maior_que_um)

g <- ggplot(dados, aes(phi_vals,eigs))
g + geom_line() + theme_bw() 

bet = 0.99
sig = 1
rho = 0.95

phi_vals = seq(0,1.5, length.out = 100)
eigs_maior_que_um <- rep(0,length(phi_vals))

for(i in 1:length(phi_vals)){

  phi = phi_vals[i]

  B = rbind(c(bet,0,0),c(-1,1,1),c(0,0,1))
  C = rbind(c(1,-1,0),c(0,-sig,0),c((1-rho)*phi,0,rho))

  A = qr.solve(B)%*%C
  eigg <- eigen(A)
  eigs_maior_que_um[i] <- sum(abs(eigg$values) > 1)
}

dados_com_suav <- data.frame("phi_vals" = phi_vals,"eigs" = eigs_maior_que_um)

g <- ggplot(dados_com_suav, aes(phi_vals,eigs))
g + geom_line() + theme_bw()