Como se fosse verdade

O meu primeiro erro foi achar que precisamos modelar o objeto de estudo à lá Nelson Rodrigues, a vida como ela é. Não! Precisamos - pelo contrário - chegar em algo que opera como se fosse verdadeiro, a filosofia do as if.

Podemos partir de coisas simples. Se um consumidor escolhe uma cesta dentre todas as outras possíveis de serem adquiridas ao mesmo custo, então ele revelou preferir essa cesta. É tão absurdo assim fingir que ele maximizou utilidade? Não, não é.

Pois, seja \(U: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) um mapeamento contínuo. É a nossa função utilidade. Estamos associando um vetor de quantidades consumidas de \(n\) bens \(\mathbf{x}\) dentro do espaço euclidiano \(\mathbb{R}^n\) a um dado nível de satisfação, representado por um escalar na reta real.

Temos também um vetor de preços \(\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n\). Conhecemos a restrição com a qual o consumidor se confronta, sua renda dada \(w\) (algo que estaríamos relaxando se o assunto fosse equilíbrio geral) precisa ser menor ou igual ao produto interno dos vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{p}\). Tudo gasto não pode exceder o que pode ser gasto, afinal. Em termos mais explícitos e preservando uma certa generalidade, temos:

\[ \text{max} \, \, U(x_1,x_2,...,x_n) \, \text{s.a.} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i \mathbf{p}_i = w\]

Daqui para frente eu prossigo no caso particular \(n=2\) e assumindo uma função utilidade Cobb-Douglas. Isso não resulta em grandes perdas de generalidade, mas oferece grandes ganhos de didática e facilidade.

Pois, temos:

\[ \text{max} \, \, x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta} \, \, \text{s.a.} \, \, \, x_1 p_1 + x_2 p_2 = w\] \(\alpha\) e \(\beta\) são parâmetros que por vezes passam ignorados. São as elasticidades utilidade-consumo de cada bem. \(\alpha = 0.4\), por exemplo, nos diz que um aumento no consumo de \(x_1\) de \(1\%\) gera um aumento de \(0.4\%\) no nível de utilidade. Usualmente supomos que \(\alpha + \beta = 1\) porque isso garante “retornos constantes da felicidade” ao consumo. Se a soma das elasticidades é a unidade, então dobrando o consumo podemos somente dobrar o nível de utilidade.

Em um contexto de teoria da firma isso é particularmente relevante porque as elasticidades passam a ser insumo-produto. Uma soma maior que 1 resulta em retornos crescentes à escala, enquanto uma menor que 1 resulta em retornos decrescentes. A soma das elasticidades insumo-produto (o grau de homogeneidade da função, inclusive) nos informa sobre aspectos relevantes da tecnologia disponível à firma.

Problemas de otimização restrita como esses podem ser atacados com Multiplicadores de Lagrange. É um método particularmente interessante porque podemos dele ter os preços-sombra.

Temos o lagrangeano:

\[ \Gamma = x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta} - \lambda (x_1 p_1 + x_2 p_2 - w) \]

Então as condições de primeira ordem são:

\[\frac{\partial \Gamma}{\partial x_1 } = \alpha x_{1}^{ \alpha -1} x_{2}^{\beta} - \lambda p_1 = 0 \\ \frac{\partial \Gamma}{\partial x_2 } = \beta x_{1}^{\alpha} x_{2}^{ \beta - 1} - \lambda p_2 = 0 \\ \frac{\partial \Gamma}{\partial \lambda } = x_1 p_1 + x_2 p_2 - w = 0 \]

Antes de prosseguir: o que é exatamente esse \(\lambda\)? Um problema de otimização restrita tem alguns componentes. A função objetivo a ser otimizada (nesse caso é a função utilidade), o conjunto de oportunidades (nossa restrição orçamentária) e os instrumentos, as variáveis sobre as quais temos controle (o consumidor decide quanto de cada bem consome). Nós conhecemos facilmente quanto a variação no consumo de um bem gera em variação na função utilidade, é simplesmente a derivada parcial \(\frac{\partial U}{\partial x_i }\).

A beleza do método de Lagrange é que ele nos informa o quanto ganhamos quando ocorre uma variação na restrição, \(\frac{\partial U}{\partial w} = \lambda\). A interpretação econômica do \(\lambda\) em um contexto de teoria do consumidor é a utilidade marginal não de um bem, mas da renda. Por ele sabemos o quanto um relaxamento, ou aperto, na restrição orçamentária afeta o nível de utilidade do consumidor.

Ao leitor interessado em se aprofundar nesse ponto, recomendo o excelente livro do professor Michael Intriligator, Mathematical Optimization and Economic Theory.

Temos agora que achar a cesta que simultaneamente satisfaz essas três condições. Na cesta ótima, a utilidade marginal de cada bem não pode ultrapassar \(\lambda\) multiplicado pelo seu próprio preço, a utilidade marginal da renda que vai ser consumida ao consumir mais de desse bem. Observe que o raciocínio intuitivo é simples. Se a utilidade marginal de um bem a um certo nível de consumo é menor que a utilidade marginal da renda que será deslocada para consumir a mais esse bem, então o consumidor pode estar melhor simplesmente consumindo menos - dado que a utilidade marginal desse bem é decrescente.

A solução não é muito complicada (se o leitor não sabe, deixo como exercício hehe). Depois de umas poucas manipulações com as condições de primeira ordem chegamos em:

\[ x_1 = \frac{\alpha p_2 x_2}{\beta p_1}\\ x_2 = \frac{\beta p_1 x_1}{\alpha p_2} \]

Como não é muito útil ficar escrevendo linhas e linhas de manipulação algébrica aqui, deixo como exercício ao leitor [que ainda não sabe isso] chegar aqui:

\[ x^{*}_1 = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \frac{w}{p_1} \\ x^{*}_2 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \frac{w}{p_2}\]

Essas são as curvas de demanda de cada bem para esse consumidor.

Um pouco de Dualidade

Imagine um mapeamento \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), digamos \(f(x)=ax^2 + bx + c\). Estamos interessados em, por exemplo \(\text{min} f(x)\), mas somente nesse problema de minimização? Onde foi parar a boa e velha maximização?

Em termos bem amplos e simples, isso é Dualidade. Maximizar uma função pode ser equivalente, sob certas condições, a minimizar sua oposta e vice-versa.

nums = seq(from = -10, to = 10, by = .2)


f_min = function(x, a=1, b=1, c=0) {a*(x**2) + b*x + c}
d_f = function(x, a=1, b=1) {2*a*x + b}


parabola1 = data.frame(nums,f_min(nums), d_f(nums))


library(ggplot2)
library(dplyr)

parabola1 %>%
  ggplot(aes(x = nums, y = f_min.nums.))+
  geom_line(size = 2, color = "blue") +
  geom_line(aes(y = d_f.nums.), size = 1, color = "black")+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed")+
  ylab("y") +
  xlab("x")

Observe que a derivada iguala-se a zero justamente onde temos um ótimo local da função, como aprendemos em Cálculo 1. Agora observe onde a derivada de \(-f(x)\) se iguala a zero.

f_max = function(x, a= -1, b= -1,c=0) {a*(x**2) + b*x + c}
d_f_max = function(x, a= -1, b= -1) {2*a*x + b}

parabolas = data.frame(nums,f_min(nums), d_f_max(nums),
                       f_max(nums), d_f(nums))

parabolas %>%
  ggplot(aes(x = nums, y = f_max.nums.))+
  geom_line(size = 2, color = "blue") +
  geom_line(aes(y =f_min.nums.), size = 2, color = "blue") +
  geom_line(aes(y = d_f.nums.), size = 1, color = "black")+
  geom_line(aes(y = d_f_max.nums.), size = 1, color = "black")+
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed")+
  ylab("y") +
  xlab("x")

No mesmo lugar, não? Estamos aqui no que se chama de Dualidade Forte. \(\text{min} f(x) = \text{max} -f(x)\). E como isso se conecta com teoria do consumidor?

Aquelas curvas de demanda em que chegamos são marshallianas. Dado um conjunto orçamentário, elas maximizam utilidade. No entanto podemos querer curvas hicksianas, minimizar gastos dado que o consumidor está num nível \(k\) de utilidade. Teríamos um problema assim:

\[ \text{min} \, \, x_1 p_1 + x_2 p_2 \, \, \text{s.a.} \, \, \, x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta} = k\]

Assim como podemos chegar na demanda marshalliana pela função de utilidade indireta, via Identidade de Roy, podemos chegar na demanda hicksiana pela função gasto, via Lemma de Shepard.

Não é linda a teoria da demanda?

A presença de dualidade nos modelos talvez se faça mais aparente num contexto de teoria da firma, afinal, existem explícitas menções nas ementas mais comuns à maximização de lucro e à minimização de custo. O leitor agora talvez tenha uma percepção diferente, que são facetas diferentes do mesmo processo.

E para não falarem que não toquei em estática comparativa: volte às curvas de demanda [marshallianas] e se pergunte o que acontece quando o preço do bem \(i\) aumenta. Ninguém é um maximizador racional - exceto talvez um amigo meu que tem pouco cabelo, ele é assustadoramente Homo Oeconomicus - mas quando o preço das maçãs aumenta, pessoas compram menos maçãs. Quase como se tivessem computando um lagrangeano na cabeça… Curioso, não?

Agora um pouco mais de R

Isso tudo tem um aspecto muitas vezes ignorado. A visualização padrão de curvas de indiferença é cortes transversais do mapeamento \(U\), por exemplo, e já ouvi inúmeros colegas falarem que simplesmente não foram apresentados essa natureza “tridimensional” da função utilidade em uma cesta com dois bens. Podemos visualiza-la sem problemas.

Vamos definir uma função que computa uma Cobb-Douglas, depois explorar isso graficamente.

## Definindo função Cobb-Douglas
cobb.douglas.2 <- function(x, 
                         TFP = 1, 
                         alpha = round(runif(n=1, 
                                       min=0, 
                                       max=1), digits = 2),
                         beta = 1 - alpha) {
  y = vector()
  
  for (i in 1:nrow(x)) {
  
  y[i] = TFP * x[i,1]^alpha * x[i,2]^beta
  
  }
  cobb.douglas = list(y = y, 
                      alpha = alpha,
                      beta = beta)
  }

## Gerando coordenadas de consumo

x1 = seq(from = 1, to = 100, by = 1) ## primeiro geramos pontos de 1 a 100
x1 = sort(rep(x1, length(x1)), decreasing = FALSE) #depois repetimos 100 vezes cada elemento em ordem crescente

x2 = seq(from = 1, to = 100, by = 1) #agora fazemos o mesmo, sem ordenar
x2 = rep(x2,length(x2)) 

consumo = data.frame(x1, x2) #consumo é o produto cartesiano dos conjutnos x_1 e x_2

util = cobb.douglas.2(consumo, alpha = .5)
u = util$y


##
library(plot3D)

scatter3D(x = x1, y = x2, z = u, 
       xlab = "Bem 1", ylab = "Bem 2", zlab = "Utilidade")

scatter3D(x = x1, y = x2, z = u, 
       xlab = "Bem 1", ylab = "Bem 2", zlab = "Utilidade",
       theta=0, phi=90) ##inclinando para ter cada bem em cada eixo

Pense numa curva de nível \(C(k)=\{ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \, \, | \, \, U(x_1,x_2) = k \}\). Para \(k\approx 60\), podemos ve-la na duvisa entre a região verde e a vermelha, mais ou menos a seção amarela da superfície. Nessa superfície é possível visualizar claramente as famosas Curvas de Indiferença.

Em algum momento pretendo voltar à esse assunto, com o foco na teoria da firma. Até lá.