Visualizando um critério de estacionariedade em Processos AR

Eu volto ao mesmo tema, processos AR, com certa regularidade porque Séries Temporais são um excelente playground para brincar de fazer gifs. Animações e o componente da passagem do tempo inerente ao estudo de processos estocásticos combinam muito bem.

Indo direto ao ponto, vamos lembrar do novo velho amigo o AR(1) em uma dimensão:

\[y_t = \beta y_{t-1} + \mu_t\] Dizemos que \(y_t\) é \(n\)-estacionário se no limite quando \(t\) tende a infinito seu \(n\)-ésimo momento incondicional converge¹. Um processo \(\infty\)-estacionário é dito fortemente estacionário. Vamos avaliar o primeiro momento:

\[\mathbb{E} [y_t] = \mathbb{E} [\beta y_{t-1} + \mu_t]\] \[\mathbb{E} [y_t] = \beta\mathbb{E} [ y_{t-1}] + \mathbb{E}[\mu_t]\] \[\mathbb{E} [y_t] = \beta\mathbb{E} [ \beta y_{t-2} + \mu_{t-1}] + 0\] \[\mathbb{E} [y_t] = \beta^2\mathbb{E} [y_{t-2}] + \mathbb{E}[\mu_{t-1}] + 0\]

Acho que o leitor já captou o padrão aqui. Se não, recomendo continuar o processo mais algumas vezes no papel. No final chegaremos em:

\[\mathbb{E} [y_t] = \beta^t y_0\] É bem claro então que se \(|\beta| <1\) \(y_t\) é pelo menos \(1\)-estacionário. \(\beta\) dá uma espécie de medida da “inércia” da série. Uma proporção que diz o quanto dos eventos do passado no processo são repassados ao presente. Se \(|\beta| \geq 1\) então os choques no passado da série são transmitidos pelo menos integralmente ao presente e por isso a série explode para o infinito, estamos somando tudo repetidamente.

Eu quero ilustrar este fato com um gif porque o R me deixa fazer isso com algumas poucas linhas de código.

library(gganimate)
library(dplyr)
library(tibble)

set.seed(1234)

n <- 100 # amostra por processo

choques <- rnorm(n = n, sd = 10)

beta <- seq(from = 0, to = 1.5, by = 0.02) 

Processos <- list()


y0 <- 0 # definindo condição inicial
x <- seq(1, n) # um vetor para indexar a "passagem do tempo"

for(i in 1:length(beta)) {
  
  y <- vector(length = n)
  y[1] <- y0
  
  for(j in 2:n) {
    
    y[j] = beta[i]*y[(j-1)] + choques[j]
    
  } # termina o loop menor
  
  Processo <- tibble(beta = beta[i],
                     x = x,
                     y = y) # geramos um tibble com o Processo
  
  rm(y) # nos livramos do vetor
  
  Processos[[i]] <- Processo # preenchemos a lista com o Processo simulado na rodada
  
} # termina o loop maior

Processos <- do.call(rbind, Processos) %>% as_tibble() # unimos todas as listas 

anim <-Processos %>%
  ggplot(aes(x = x, y = y, col = beta)) +
  geom_line() +
  transition_time(beta) +
  ylim(-100,100) %>% suppressWarnings()

animate(anim, fps = 60)

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